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최대공약수와 최소공배수


공약수 = 공통된 약수

최대공약수 = 공통된 약수 중 가장 큰 수

* 1은 공약수에 항상 포함된다.

* 두수의 공약수는 최대공약수의 약수와 같다.

최대공양수의 성질 : 두개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수이다.


공배수 = 공통된 배수

최소공배수 = 공통된 배수 중 가장 작은 수

*두수의 공배수는 최소공배수의 배수와 같다.


서로소 : 최대공약수가 1인 두 자연수

서로소는 꼭 소수끼리만이 아닌 합성수도 가능하다.

예) 2와 9의 최대공약수는 1이므로 서로소이다.

예) 11과 13의 최대공약수는 1이므로 서로소이다.

예) 4와 15의 최대공약수는 1이므로 서로소이다.

 

최대공약수 구하는 방법

나눗셈을 이용하여 구하기

 18  12

2   9   6

3   3   2   <- 서로소

^

공약수

 

소인수분해를 이용하여 구하기

12 = 2 x 2 x 3 2의제곱 x 3

18 = 2      x 3 x 3 2 x 3의제곱

공통된 최대공약수는 2 x 3 = 6 이다.


최대공약수의 활용

문제) 사과 64개, 배 24개를 되도록 많은 사람들에게 남김없이 똑같이 나누어 주려고 한다. 몇 명의 사람에게 나누어 줄 수 있는지 구하시오.

 

사과 = 64

배 = 24

 

남김없이 똑같이 나눠준다 => 최대공약수

 

64 24

2 32 12

2 16   6

2   8   3  <- 서로소

^

공통된 약수 = 2의3제곱 = 8

89개씩 나눠줄 수 있다.


문제2) 가로, 세로의 길이가 각각 72cm, 180cm인 벽에 남는 부분이 없도록 가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 빈틈없이 붙이려고 한다. 이때 타일의 한 변의 길이를 구하시오.

 

가로 = 72cm

세로 =180cm

 

가장 큰 정사각형 모양 => 최대공약수

 

72 180

2 36 90

2 18 45

3 6 15

3 2   5 <- 서로소

^

공통된 약수의 최대공약수 = 2의제곱 x 3의제곱 = 36


최대공약수를 이용하여 문제 해결하는 유형

1) 몇개의 자연수를 모두 나누어 떨어지게 하는 가장 큰 자연수를 구하는 문제

2) 일정한 양을 가능한 한 많은 사람에게 나누어 주는 문제

3) 직사각형을 가능한 한 큰 정사각형으로 채우는 문제

4) 직사각형을 가능한 한 가장 적은 수의 정사각형으로 채우는 문제

문장속에 '가장 큰', '가능한 많은', '가능한 한 큰', ' 최대한' 등의 말이 있으면 => 최대공약수의 활용을 요구하는 문제


최소공배수의 활용

문제) 어느 정류장에서 A버스는 18분마다 출발하고, B 버스는 12분마다 출발한다. 오전 10시에 두 버스가 동시에 출발했을 때, 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각을 구하시오.

 

A버스 = 18분마다

B버스 = 12분마다

 

처음으로 다시 동시에 출발 => 최소공배수

 

18, 36, 54, 72, 90, . . .

12, 24, 36, 48, 60, . . .

최소공배수 => 36

 

18 12

2 9 6

3 3 2

 

최소공배수 => 2 x 3 x 3 x 2 = 36분마다


최소공배수의 활용

문제) 가로, 세로의 길이가 각각 16cm, 20cm인 직사각형 모양의 색종이가 있다. 이 색종이를 겹치지 않게 이어 붙여서 가장 작은 정사각형을 만들 때, 정사각형의 한변의 길이를 구하시오.

 

가로 = 16cm

세로 = 20cm

 

가장 작은 정사각형을 만들때 => 최소공배수

 

16 20

2 8 10

2 4 5 <- 소인수

 

최소공배수 = 2 x 2 x 4 x5 = 80cm


최소공배수를 이용하여 문제 해결하는 유형

1) 몇 개의 자연수로 모두 나누어 떨어지는 자연수를 구하는 문제

2) 두 버스 또는 열차가 동시에 출발한 후 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각을 구하는 문제

3) 같은 크기의 직사각형을 이어 붙여서 가능한 한 작은 정사각형을 만드는 문제

 

문장 속에 ' 가장 작은', '다시 동시에 출발하는', '동시에 나누어 떨어지는', '가능한 작은' 등의 말이 있으면 최소공배수의 활용


 
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