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재미재미
2014.03.11 18:30

루트계산과 파이에 대하여

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루트계산과  파이에 대하여


출처 : http://gtska.com/77 / http://soff.tistory.com/209


루트란 제곱의 반대

루트는 어떤 수를 몇 제곱을 하면 다른 어떤 수가 나오는 지를 표현한 것입니다.


루트2=1.414

루트2는 제곱했을 때 1보다 크고 2보다 작은 수이다.



출처 : http://k.daum.net/qna/view.html?qid=4q5J3 


쉽게 말하면

원주율이란 원주가 지름의 약 3,14배가 된다는 말이다.

원주/지름 = 3,14........

 

원주의 길이와 그 지름과의 비의 값을 말하며 반지름 r인 원의 원주의 길이를 l이라 하면, 원주의 길이 l과 지름의 길이 2r와의 비는 반지름의 길이에 관계없이 일정하다. 이 비 l/2r이 원주율이며, 그리스문자 π(파이:둘레를 뜻하는 그리스어의 머리글자)로 나타낸다.

 

원주율 pi 이야기

*원주율이란 무엇인가? 

원주율은 한 원의 둘레의 길이와 지름의 길이의 비이다. 이 비는 원의 크기가 어떻든 간에 언제나 일정하기 때문에 상수이다. 이것을 수학에서는 pi라고 부른다. pi는 그리스어의 둘레의 첫 문자이다. 오늘날에는 중학생정도라면 누구든지 고대이집트의 신관이나 로마제국의 우수한 건축가보다도 훨씬 정확하게 원의 지름으로부터 원의 둘레를 계산할 수 있을 것이다. 고대이집트인은 원의 '둘레가 기름의 3.16배, 로마인은 3.12배라고 보았듯이 후대의 수학자들은 기하학을 이용하여 보다 엄밀하게 계산해서 원주율을 구한 반면에 고대이집트나 로마의 수학자들은 단지 경험만으로 이 값을 구하였다. 그러나 경험적 방법으로는 정확한 pi의 값을 구하는 것은 불가능하다고 할 수 있다. 여기서는 원에 대한 개념의 발생으로부터 시작하여 pi를 구하기 위한 고대 수학자들의 노력에 대해서 알아보고자 한다.

*원주율의 개념은 어떻게 발전했을까?

바퀴를 발명하기 훨씬 이전에 이미 인간은 여러 개의 원들이 이상하게도 일정한 형태 갖고 있음을 인식하였을 것이다. 동료인간이나 그들이 기르고 있는 동물들의 눈동자, 혹은 너울거리는 달과 태양의 표면, 또는 꽃잎에서도 원 또는 원과 비슷한 모양을 보았을 것이며 원이 갖고있는 무한한 대칭성을 발견하였을 것이다. 즉, 바로 그때 인간은 비로소 양적 개념을 파악하기 시작하였을 것이다. -크고 작은 원이라든가 높고 낮은 나무들, 가볍고 무거운 돌들을 구별하는 양적 개념을 파악하기 시작하였을 것이다. -추측하건대 이후 이러한 양적 개념이 발달하여 비례하는 양이 일정한 비를 가지고 있다는 것을 발견한 데서 pi라는 개념이 나왔을 것이다. 즉 원의 지름이 길수록, 그 원둘레도 길어진다는 비례의 개념이 생기면서, 모든 원에 대하여 둘레길이 : 지름 = 상수 일 것이라는 추측을 하였을 것이다.

만약 어떤 원의 둘레와 지름이 서로 비례하는 양으로 생각되었다면 그 비는 당연히 다음과 같이 될 것이다.

원둘레의 길이 : 지름=상수

즉 pi = 원의 둘레/원의 지름 

그러면 고대인들은 어떻게 pi의 값을 구하였을까?

이는 확실히 알 수는 없지만 추측해보면 다음과 같다.

가장 쉬운 방법은 하나의 원을 택하여 그 지름과 둘레를 재고 나서 두 길이의 비를 재어보는 것이다. (우리에게 주어진 것이 박대기와 밧줄밖에 없다고 가정하자.)

강변의 평평한 모래 위에다 말뚝을 밖아 튼튼한 줄을 연결한다. 다른 한쪽 끝을 잡아 팽팽하게 한 후에 모래밭을 둥글게 걸어가며 원모양을 그린다. 이때 사용한 밧줄의 길이가 이 원의 반지름의 길이이다. 이번에는 반지름길이의 두 배가되는 긴 밧줄을 사용한다. 이 밧줄의 길이가 원의 지름이며 앞으로 사용하게될 길이의 단위가 된다. 이 밧줄의 한 쪽 끝을 원 위의 점 B에 다다르게 한다.

다시 점 B에서 출발하여 이 작업을 한 번 더 원 위에서 실행하여 점 D를 정한다. 이 결과로 원의 둘레에는 지름이 세 개 놓여지고 악간의 여분(AD)이 있게 된다는 것을 알 수 있다. 만약 우리가 그 여분을 무시하고 가장 가까운 정수의 값을 취하게 된다면 pi는 3의 값을 얻게된다. 좀더 정확한 측정값을 얻자면 나머지길이 DA를 우리가 정한 단위길이 (지름)의 분수로 나타내야한다. 이를 위하여 DA의 길이가 지름 위에 몇 번 표시할 수 있는지 세어보다. 그 수는 7번과 8번 사이에 있게 될 것이다. 그러므로 우리는 pi의 측정값으로

25/8 < pi < 22/7을 얻을 수 있을 것이다.

기원전 2000 년 경 바발로니아 인들은 pi = 25/8으로 계산하였고 이집트 인들은 256/81 로 계산하였다.

고대인들은 정확한 계산을 중시 여겼는가?

그렇다. 그들은 정확한 계산이야말로 존재하는 모든 사물과 숨겨진 모든 비밀에 대한 지식의 입구라고 생각하였다. 또한 농경 사회이던 고대 이집트와 그 밖의 곳에서 승려들은 달력의 보관자로서 수학과 밀접하게 관련되어 있었다. 그들은 일식과 월식을 예언할 수 있었고, 나일로미터라는 관측기로 강의 수위를 측정하여 다가오는 홍수나 가뭄을 예언할 수 있었기에 이러한 과학적 지식이 무지한 평민을 지배할 수 있는 무기라고 확신하였다.

*성경은 pi를 어떻게 다루었나?

고대문헌에서 가장 많이 발견되는 pi의 측정값인 25/8 < pi < 22/7도 위와 같은 방법으로 구하였을 것이다. 예를 들면 열왕기상 7장 23절과 역대기하 4장2절에 다음과 같은 구절이 있다. "또 바다를 부어만들었으니 그 직경이 10 규빗이요, 그 모양이 둥글며 그 高는 다섯 규빗이요, 주위는 삼십규빗 줄을 두를 만 하며..." 여기서 바다는 둥글다고 하였다. 그리고 원의 둘레는 30규빗이고, 지름은 10규빗이다. 따라서 성경에 나오는 pi의 값은 pi=3이 된다. 서기 500년경 만들어진 「구약성서」의 주석서인 「탈무드」에도 "둘레가 세뼘 되는 원의 지름은 한 뼘이다."라고 되어있다. 이러한 시기에는 pi의 값이 상당히 정확히 알려져 있는 데도 성서나 탈무드의 제작자들은 그렇지가 않았던 모양이다. 이는 앞으로도 계속 과학과 종교의 대결적 양상으로 발전하게된다. 

*원주율 pi의 수치는 대체 얼마인가? 

이 수치를 구하기 위하여 옛날부터 그 얼마나 낳은 수학자들이 머리를 짰는지 모른다. 많은 수학자들의 고심에 찬 노력에 의하여 pi의 수치는 날이 갈수록 더 정확해졌다. 이제 여러 수학자들의 pi를 구하기 위한 노력을 알아보기로 하자. 

많은 수학자들은 일반적으로 원의 내접 정다각형 또는 외접 정다각형의 둘레의 길이로 근사 값을 대체하였다. 이 대표적인 수학자는 아르키메데스이다.

 
 

처음에는 사람들은 이러한 방법으로 pi의 완전한 값을 구할 수 있다고 생각하였다, 그러나 정작 계산해 놓고 보니 계산할수록 복잡하여 끝까지 계산할 수 없었다. 16세기 중엽에 이르러서야 프랑스의 수학자 프랑수아 비에타가 pi는 무리수(무한 비순환소수)로서 일정한 법칙에 따라 끝없이 계산할 수 있다는 것을 수학적으로 증명하였다. pi는 분수와는 다르다. 이를테면 분수 1/3은 무한 소수이기는 하지만 pi보다는 간단하다. 

*뷔퐁의 바늘 문제

계산상의 가장 독특한 방법중의 하나는 18세기 프랑스의 박물학자 뷔퐁 백작의 바늘문제이다.

이 방법은 조금 어렵기는 하지만 함수의 극한 문제를 이용한다.

길이 2 Cm 정도의 자수바늘을 준비한다. 굵기가 일정하도록 끝이 잘려나간 것이 좋다.
그 다음 종이에 바늘길이의 두 배 간격으로 가느다란 선을 여러 개 평행으로 긋는다. 그리고 바늘이 튀자 않도록 종이 밑에 흡수지나 모직물을 깐다.
임의의 높이에서 종이 위에 바늘을 떨어뜨린다. 100회나 1,000회라면 더욱 좋은데 바늘이 몇 회 종이 위의 선과 교차했는지 본다.(바늘의 끝이 선 위에 정확히 있을 때도 교차한 것으로 간주한다.)

바늘을 떨어트린 횟수를 바늘의 교차한 수로 나누면 pi의 값을 얻을 수 있다.

물론 이 것은 근사값이다.

따라서 pi = 떨어뜨린 횟수/교차횟수

바늘을 떨어뜨린 횟수가 많으면 많을수록 pi의 값은 정확하게 된다. 스위스의 천문학자 보르프는 19세기 중엽에 방안지 위에 5,000회 바늘을 떨어뜨려 그 결과로 3.159...라는 값을 얻었다. 이것은 아르키메데스가 구한 값보다는 부정확하다. 그러나 원도 그릴 필요 없이 실험만으로 pi를 구할 수 있다는 것은 재미있는 일이다. 기하학과 원에 대해 모르는 사람이라 하더라도 바늘을 몇천 번씩 던질 끈기만 있다면 이 방법을 사용해서 pi의 값을 구할 수 있을 것이다.

우리는 이를 확률편에서 좀 더 자세히 다룰 것이다. 

다시 고대로 돌아가서 중국의 경우를 보기로 하자.

옛날 중국에서는 주삼경일(周三經一,즉 pi=3)이라는 말이 있다. 이것은 서기100여 년 전의 「주비산경」이라는 책에 기재되어 있다. 그 후에 원주율이 3보다 좀 켜야 한다는 것을 차츰 알게 되었다. 동한 때에 와서 중국의 천문학자이며 수학자인 장형은 아주 묘한 수치를 응용하여 원주율이 10의 제곱근 과 같다고 하였다. 이 수치는 아주 간편하여 기억하기 쉽다. 위진 때 와서는 중국 수학자 유위는 263년에 「구장산술」에 주해를 달 때 '주삼경일'은 내접 정육각형의 둘레와 지름의 비율로서 이것으로는 내접 정12각형의 면적밖에 계산하지 못한다고 지적하였다. 그는 원의 면적을 더욱 정확하게 계산해 내기 위하여 할원술을 창조하였다. 그는 "작게 쪼갤수록 적게 무지러지고 또 쪼갤 수 없을 때까지 쪼개면 원(주)과 일치되며 무지러지는 것이 없게 된다."

그는 할원수로 원의 내접 정 192각형의 면적을 계산하여 원주율 pi =157/50 =3.14을 얻어내고 후에 또 원의 내접 정 3072각형의 면적을 계산하여 정확도가 높은 원주율 pi =2927/1250 = 3.1416 을 얻었다. 유휘가 이처럼 원의 내접 다각형의 면적을 원의 면적에 접근시킨 여기에는 극한의 관념이 내포되었는데 이는 수학에서 하나의 창조이다.

원주율을 구하는 일에서 남북조 때의 과학자 조충지가 가장 빛나는 성과를 올렸다고 할 수 있다. 조충지는 pi의 값을 3.1415926과 3.1415927사이로 정확하게 추산해 내었는데 오늘에 이르기까지 한자도 틀림이 없다. 이것이 세계에서 제일 먼저 나온 7자리 소수의 정확한 값이다.

조충지의 이 성과는 「철술」이라는 책에 기재되어 있다. 조충지는 뒤에 '약률'이라고 하는 분수 값과 '밀률'이라고 하는 분수 값을 제기했는데 약률 pi = 22/7, 이고 밀률 pi=355/113 = 3.141529 이다.

이 약률은 그리스의 학자 아르키메데스가 제기한 원주율과 같다. 그러나 밑률은 유럽에서 16세기 에 이르러서야 비로소 독일 수학자 오토와 홀랜드의 수학자 안토니츠에 의하여 제기되었다. 이는 중국보다 1000여 년이나 늦다. 이것은 실로 중국수학의 개가라 할 수 있다. 그래서 달의 뒷면에 있는 하나의 산 곡을 '조충지'라고 이름을 붙였다. 조충지는 국제적으로 모두 대단한 존경을 받고 있다.

이 밀률은 기억하기도 쉽다. 113355와 같이 3쌍의 연속된 홀수를 차례로 한 줄에 배열하고 앞에 있는 113을 분모, 뒤에 있는 355를 분자로 하는 분수를 고치면 된다.

유럽에서 15세기 후에 과학기술이 활발하게 발전함에 따라 이른바 방원(같은 면적의 사각형과 원을 구하기)학자들이 많이 나오면서부터 원주률은 날이 갈수록 더욱 정확해졌다. 이런 학자들은 pi의 소수의 자리수가 많을수록 좋은 것으로 생각하였다. 그 가운데 제일 특출한 사람으로는 독일 수학자 루돌프를 들 수 있는데 그는 pi의 값을 소수 35번째 자리까지 구하였다. 이 수치를 다른 학자들이 검사해 보니 한 자도 차이가 나지 않았다. 루돌프는 그가 한 일이 생애의 보람찬 일 이라고 생각하고 임종시에 이 35자리 수치를 묘비에 새겨 달라고 유언을 남겼다. 그래서 일부 독일 사람들은 지금까지 원주율의 값을 '루돌프 값'이라고 부르고 있다.

후에 원주율을 구하는 값이 나날이 개선되어 발전하였으며 소수 자리의 수도 재빨리 늘어났다. 1706년에 이르러서는 400자리로, 1873년에는 707 자리까지 계산되었다. 영국의 수학자 생크스가 이 마지막 수치를 구한 후로는 그 누구도 붓셈으로 구한 일이 없다. 그래서 생크스를 원주율 계산경기에서는 우승자로 칠 수 있다.

생크스는 15년간의 공력을 들여서야 707자리까지 구해냈다. 하지만 애석하게도 나중에 검사해보니 530자리까지만 정확하였다.

전자 계산기가 나오고 부터는 계산기로 원주율을 계산하게 되었기 때문에 pi의 소수의 자리수가 실로 사람을 놀라게 할만큼 늘어나고 있다. 처음에는 어떤 사람이 하루 밤낮으로 2048자리를 구해냈고 1967년에 프랑스의 기요드와 디샹프는 소수 자리의 수를 500,000자리까지 늘렸다. pi의 값이 50만 자리의 소수로 끝났는가? 끝나지 않았다. pi는 끝이 없는 수로서 영원히 다 계산해 낼 수 없다. 

*현재에도 pi 값을 구하는 행진은 끝나지 않는가?

이 작업은 영원히 계속될 것이다. 예를 들면, 가동하는 데 많은 경비와 시간이 소요되는 수퍼 컴퓨터를 이용하여 pi 값을 구하는 이유는 다음과 같다. 컴퓨터 역시 가동하기 전에, 다른 기계와 마찬가지로, 작업을 신뢰선 있게 수행할 수 있는지를 테스트해 보아야 한다. 그 방법의 하나가 수 십만 자리의 소수들을 계산하게 하고 그 결과를 알고 있는 숫자와 검토하는 것이다. 결과가 일치하면, 그 컴퓨터는 수백만의 산술적 연산을 착오없이 수행한 것이 된다. 이러한 작업은 또한 컴퓨터 프로그래머들을 훈련시키는 좋은 도구도 된다. 

*그들은 어떻게 pi 값을 기억했을까?

과연 계산하여 구한 pi 의 값을 그들은 어떻게 기억했을까?

pi의 소숫점 이하 자릿수들을 사람들의 기억 장치에 담아두는 다양한 기억술들이 있다. 예를 들어 다음 문장의 각 단어들의 철자수는 pi의 자릿수들을 보여주고 있다. 

불어와 독일어에도 이러한 목적을 위하여 씌어진 시들이 있다. 다음은 불어로 씌어진 시이다. 

위의 시는 몇몇 독일인들을 자극하여 다음과 같은 류턴 가락의 과장된 시를 쓰게 하였다. 

위의 두 시는 소수 29자리까지 pi값을 알여준다. 

 

== pi와 관련된 퀴즈들 ==

1.머리인가 발인가

줄 베르느의 소설 중에 주인공 한 사람이 세계일주 여행을 했을 때 머리와 발끝중 어느 쪽이 더 많이 여행했을까를 계산해 보았는데 확실히 차이가 있었다고 한다.

다음의 문제를 풀어보자. 

문제지구의 적도를 걸어서 일주했다고 하자. 모라 꼭대기는 발끝보다 어느 정도 더 여행했을까?
풀이지구의 반지름을 r로 정하면 발이 지나간 거리는 2 (pi)r 이다. 사람의 신장을 1.7m라고 한다면 머리 꼭대기가 지나간 거리는 2 pi(r + 1.7)

그 차는 2 pi(r + 1.7) - 2 pi r = 10.7(근사값)

따라서 머리는 발보다도 10.7m이상 여행한 것이다. 여기서 발견되는 재미있는 사실 하나는 반지름이 서로 다른 지구에서나 목성에서나, 또는 다른 소혹성에서도 머리는 발보다 항상 10.7m이상 여행한다는 것이다. 일반적으로 두 동심원(발이 그린 원과 머리가 그린 원)의 원둘레의 차는 반지름과 무관하며, 단지 반지름의 차에 의해서만 결정된다. 즉 반지름이 1Cm 길어졌을 때 원주의 길이가 늘어나는 비율은 거대한 태양에서나 백원 짜리 동전에서나 모두 같다. 

2.적도에 감은 철사

문제1지구 적도에 철사를 한 바퀴 두른 다음 이 철사의 길이를 1m 길게 한다면 쥐가 철사와 지구사이를 빠져나갈 수 있을까?
풀이사람들은 대개가 이 사이로는 머리카락도 빠져나가기 힘들 것이라고 대답할 것이다. 40,000,000m 나 되는 적도의 길이와 비교한다면 1m는 거의 0에 가깝기 때문이다. 그러나 실제로 이 간격은 100/(2 pi) =16 cm 에 달한다. 이 정도 간격이라면 쥐는 물론이고 큰 고양이도 빠져나갈 수 있을 것이다.

문제2이번에는 지구의 적도 둘레에 강철로 만든 철사를 단단하게 감아두었다고하자. 이 철사의 온도를 1℃ 내리면 어떻게 될까?

철사는 온도가 내려가면 당연히 짧아진다. 이 때 철사가 끊어지지 않고 줄어들었다면 어느 정도의 깊이까지 땅속으로 파고들었을까?

풀이불과 온도가 1℃내려갔을 뿐이므로 철사가 땅속으로 거의 파고들지 않았을 것처럼 생각되는데 실제 계산해보면 그렇지 않다. 온도가 1℃ 내려가면 강철의 철사는 그 길이가 10만 분의 1정도 짧아진다. 40,000,000m (적도의 길이)의 철사는 10만 분의 1인 400m 가 짧아진다. 그러나 철사 원의 반지름은 400m 짧아지는 것이 아니다. 400m를 2pi, 즉 6.28로 나누면 반지름이 어느 만큼 작아지는가를 알 수 있다.

400/(2 pi) = 64 cm(근사값)

따라서 온도가 단지 1℃만 내려가도 철사는 수 mm정도가 아니라 놀랍게도 60m이사이나 지면으로 파고들게 된다.

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