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유용한상식
2011.07.22 21:41

확률

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확률

결과

샘플 스페이스

행사

상대 빈도

확률

주관적 확률

독립 이벤트

상호 배타적 이벤트

추가 규칙

곱셈의 규칙

조건부 확률

총 확률의 법칙

베이즈의 정리






 샘플 스페이스

샘플 공간은 실험의 모든 가능한 결과의 완전한 목록입니다. 이러한 연구의 각각의 가능한 결과는 일반적으로 S.으로 표시되는 예제 공간에서 하나 하나의 포인트로 표시됩니다

실험 한번 죽는 롤링 :
샘플 공간 S = {1,2,3,4,5,6}
동전 던지기 실험 :
샘플 공간 S = {헤드, 테일스}
학교에서 그녀의 첫날 여자의 높이 (CMS)를 측정 실험 :
가능한 모든 실제 숫자의 샘플 공간 S = 설정


 행사

이벤트는 실험 결과의 모음입니다.

공식적 으론 샘플 공간의 모든 하위 집합은 이벤트입니다.

샘플 공간에서 하나의 결과로 구성되어 모든 이벤트는 초등학교 또는 단순 이벤트라고합니다. 하나 이상의 결과로 이루어져 이벤트는 복합 이벤트라고합니다.

설정 이론은 이벤트 간의 관계를 나타내는 데 사용됩니다. 일반적으로 A와 B가 표본 공간 S에있는 두 사건 후,있다면
U B (연합 B) = '중 A 또는 B가 발생 또는 둘 모두가 발생할 수'
A N B (교차로 B) = 'A와 B가 모두 발생'
 = (A는 B의 부분 집합이다) '가 발생하면, B 않는다'는
'또는 - 보완 = '이벤트는 발생하지 않습니다'
파이 (공집합) = 불가능 이벤트
S (샘플 공간) 발생 확실 = 이벤트
실험 : 한 번 주사위를 굴릴 때 -
샘플 공간 S = {1,2,3,4,5,6}
이벤트 = '점수 <4'= {1,2,3}
B = = {2,4,6} '점수도있다'
C = '점수는 7입니다'= 빈 설정
U B = = {1,2,3,4,6} '점수가 <4도 또는 둘 모두가 있습니다'
A N B = '점수는 <4, 심지어'= {2}
'또는 - 보완 = '이벤트가 발생하지 않습니다'= {4,5,6}


 상대 빈도

상대 주파수 비율에 대한 또 다른 용어이다, 그것은 이벤트가 실험이 수행됩니다 횟수의 총계에 의해 발생하는 횟수를 나누어 계산 값입니다. 이벤트의 확률은 실험이 여러 번 수행하면 긴 실행 상대 빈도와 같은 생각을하실 수 있습니다.

실험이 N 번 반복하고, 이벤트 E가 R 시간을 발생하는 경우 다음 이벤트 E의 상대적 빈도는 것으로 정의된다
RF N (E) = R / N

실험 : 50 회 (n은 = 50) 공정한 동전을 던지기
이벤트 E = '머리'
검색 결과 : 30 헤드, 20 꼬리 때문에 R = 30
상대 주파수 : RF N (E) = R / N = 50분의 30 = 5분의 3 = 0.6

실험이 실험 조건을 변경하지 않고 많은 시간을 반복하는 경우, 특정 이벤트의 상대 빈도는 어떤 가치로 정착됩니다. 사건의 확률은 상대적인 주파수의 제한 값으로 정의할 수 있습니다 :
P (E) = N과 같은 제한은 무한대 경향 RF N (E)

실험이 더 많은 시간을 반복하는 경우 예를 들어, 위의 실험에서는 이벤트 '헤드'의 상대 빈도는 약 0.5의 값을 정착됩니다.



 확률

확률은 특정 이벤트의 발생 가능성이 quantatative 설명을 제공합니다. 확률은 통상 0에서 1로 규모 표현, 드문 경우 가까운 0 가능성을 가지고, 아주 일반적인 이벤트가 종료 1 가능성이 있습니다.

이벤트의 확률은 그 오랜 실행 상대 주파수로 정의되었습니다. 또한 특정 이벤트가 발생할 것이라는 신념의 개인 수준 (주관적 확률)로 생각되었습니다.

어떤 실험에서 모든 결과는 동일 가능성이 높습니다. 당신은 모자에서 복권 한 우승자를 선택할 수있다면 예를 들어, 모든 복권 소유자가 이기기를 동등하게 가능성이있다는 것을 그들은 선택되는 그들의 티켓의 동일한 확률을했습니다. 이것은 똑같이 - 가능성이 결과 모델이며로 정의됩니다 :
P (E) =이벤트 E에 대응하는 결과의 수 

결과 총 개수

  1. 52 잘 단행 연주 카드 팩에서 가래를 그리기의 확률은 52분의 13부터 = 4분의 1 = 0.25입니다
    이벤트 E = '스페이드 그림이 그려진';
    E = 13 (스페이드)에 해당하는 결과의 수를;
    결과 = 52 (카드)의 총 수입니다.
  2. 동전 던지기 때, 우리는 결과를 '머리'또는 '꼬리'가 각각 0.5의 동등한 확률을 가지고 있다고 가정합니다.


 주관적 확률

주관적 확률은 특정 이벤트가 발생하는 것이 얼마나 가능성에 대한 개인의 개인적인 판단에 대해 설명합니다. 그것은 어떤 정확한 계산을 기반으로하지만 종종 지식이있는 사람에 의해 합리적인 평가는하지 않습니다.

모든 가능성과 마찬가지로, 주관적 확률은 통상 0에서 1로 규모 표시되며 드문 이벤트가 종료 0 주관적인 가능성을 가지고, 아주 일반적인 이벤트가 종료 1 주관적인 가능성이 있습니다.

이벤트 개인의 주관적 확률은 그 / 이벤트에 대한 믿음 그녀의 학위를 설명합니다.

 
레인저스 서포터은 "레인저스 그들이 진짜로 잘 연주했습니다 이후 올해 스코틀랜드 프리미어 부문 수상의 0.9의 확률을 가지고 있다고 생각합니다."말할지도 모른다



 독립 이벤트

이벤트 중 하나의 사건이 우리에게 다른 이벤트가 발생하지 않습니다 여부에 대한 정보를 제공합니다 없다면 두 가지 이벤트가 독립, 그 이벤트가 서로에 아무런 영향이 없다입니다.

확률 이론에서 우리는 둘 다이 발생되는 확률이 두 개인 이벤트, 즉의 확률의 제품에 동일한 경우 두 가지 이벤트가 A와 B는 독립이라고
P (A N B) = P (A). P (B)

독립의 아이디어는 두 개 이상의 이벤트에 확장될 수 있습니다. 예를 들어, A, B 및 C는 경우 독립적입니다 :

  1. A와 B는 독립, 그리고 'C'는 독립적이며, B 및 C (pairwise 독립) 독립적입니다;
  2. P (A N B N C) = P (A). P (B). P (C)

두 사건이 독립면 그들은 수없는 상호 배타적 (지리멸렬)와 그 반대도 마찬가지입니다.

각각 남자와 여자가​​ 52 게임 카드 팩을 가지고 있다고 가정합시다. 각 그 / 그녀 팩에서 카드를 그립니다. 그들은 각 클럽의 에이스를 그려 그 가능성을 찾아보십시오.
우리는 이벤트를 정의합니다 :
남자가 클럽 = 52분의 1의 ACE를 그리는 것을 A = 확률
B 여자가 클럽 = 52분의 1의 ACE를 그리는 것을 = 확률
분명 이벤트가 A와 B는 이렇게 독립적입니다 :
P (A N B) = P (A). P (B) = 52분의 1. 52분의 1 = 0.00037
즉, 남자와 여자 둘 다 에이스을 이끌어낼 수있는 아주 작은 가능성이있다.

참고 조건부 확률을 .



 상호 배타적 이벤트

그것이 그들이 함께 발생하는 불가능한 경우 두 가지 이벤트 (또는 연결이 끊긴) 상호 배타적입니다.

공식적으로, 두 가지 이벤트가 A와 B가 상호 배타적이며 경우에만 경우
A N B = 공집합

두 사건이 상호 배타적인 경우, 그들은 수없는 독립적인 반대도 마찬가지입니다.

  1. 실험 : 한 번 죽는 롤링
    샘플 공간 S = {1,2,3,4,5,6}
    이벤트 = = {1,3,5} '홀수를 관찰'
    B = '관찰 짝수'= {2,4,6}
    A N B = 빈 집합 A와 B가 상호 배타적되도록.

  2. 연구의 주제는 남성과 여성 모두가 될 수 없으며 그들은 20 30 세하실 수 있습니다. 주제는 그러나 남성과 20 또는 여성 30 모두 모두 수 있습니다.



 추가 규칙

추가 규칙은 이벤트 또는 이벤트 B가 발생 또는 둘 모두 발생하는 확률을 결정하는 데 사용 결과입니다.

설정 표기법을 사용하여 다음과 같이 그 결과가 자주 기록됩니다 :
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A N B)
어디 :
가 발생 P (A) = 확률 해당 이벤트
이벤트 B가 발생되는 P (B) = 확률
P (A U B) 이벤트 또는 이벤트 B가 발생 = 확률
P (A N B) 이벤트 이벤트 B가 모두 발생되는 확률 =

에 대한 상호 배타적인 사건 , 그 함께 발생할 수없는 사건입니다
P (A N B) = 0
또한 규칙에 따라서 감소
P (A U B) = P (A) + P (B)

에 대한 독립적인 이벤트 , 그건 서로에 아무런 영향이없는 이벤트입니다
P (A N B) = P (A). P (B)
또한 규칙에 따라서 감소
P (A U B) = P (A) + P (B) -. P (A) P (B)

우리가 왕이 또는 52 게임 카드 팩에서 하나의 무승부에 가래 중 하나를 드로잉의 가능성을 발견하고자하는 가정합시다.
우리는 A =가와 B = '스페이드 그릴'을 '왕이 그릴'을 이벤트를 정의
거기 팩 4 왕과 13 스페이드가 있지만, 하나 카드 왕과 가래 모두이기 때문에, 우리는있다 :
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A N B) = 52분의 4 + 52분의 13 - 52분의 1 = 52분의 16
그래서, 그림 중 왕의이나 가래의 확률이 52분의 16 (= 13분의 4)입니다.

참고 곱셈 규칙을 .



 곱셈의 규칙

곱셈의 규칙은 두 사건이, A와 B 모두가 발생하는 확률을 결정하는 데 사용 결과입니다.

곱셈의 규칙은 조건부 확률의 정의에서 다음과 같습니다.

설정 표기법을 사용하여 다음과 같이 그 결과가 자주 기록됩니다 :
P (A N B) = P (A | B) P (B) 또는 P (A N B) = P (B | A).. P (A)
어디 :
가 발생 P (A) = 확률 해당 이벤트
이벤트 B가 발생되는 P (B) = 확률
P (A N B) 이벤트 및 이벤트 B가 발생되는 확률 =
P (A | B) = 조건부 확률 해당 이벤트 이벤트 B가 이미 발생했음을 주어진 발생
P (B | A) 이벤트 B가 이벤트가 이미 발생한 것을 고려했을 발생 = 조건부 확률

독립적인 이벤트에, 그 서로에 아무런 영향이없는 사건이며, 규칙은 간단하게 :
P (A N B) = P (A). P (B)
즉, A와 B의 두 가지 이벤트에 대한 개별 확률의 제품 같다 공동 이벤트의 확률입니다.



 조건부 확률

많은 상황에서 한번 더 정보가 사용할 수있게, 우리는 더 이상 결과 또는 이벤트 발생 확률에 대한 우리의 견적을 수정하실 수 있습니다. 예를 들어, 매주 금요일 같은 장소와 시간에 점심을 나가서 당신이 확률 0.9로 15 분 내에 점심을 제공하고 있습니다 같아요. 그러나, 당신이 레스토랑은 매우 바쁜는 것을 것을 주어진 15 분 이내에 점심 식사를 제공되는 확률이 0.7으로 줄일 수 있습니다. 이 레스토랑은 매우 바쁜 것을 주어진 15 분 내에 점심 식사를 제공되는 조건부 확률이다.

에 대한 일반적인 표기법 "이벤트 이벤트 B가 발생했음을 주어진 발생"는 "A | B"(A 주어진 B). 기호 |는 수직선이며 사업부를 의미하지는 않습니다. P (A | B) 이벤트는 이벤트 B가 이미 발생했음을 주어 발생하는 확률을 나타냅니다.

무조건 확률의 조건부 확률을 결정하는 데 사용할 수있는 규칙은 다음과 같습니다 :
P (A | B) = P (A N B) / P (B)
어디 :
P (A | B) = 이벤트는 이벤트 B가 이미 발생했음을 주어 발생하는 (조건부) 확률
P (A N B) = 이벤트 이벤트 B가 모두 발생하는 (무조건) 확률
P (B) = B 이벤트가 발생하는 (무조건) 확률



 총 확률의 법칙

설정 표기법을 사용하여 다음과 같이 그 결과가 자주 기록됩니다 :
P (A) = P (A N B) + P (A N B ')
어디 :
가 발생 P (A) = 확률 해당 이벤트
P (A N B) 이벤트 이벤트 B가 모두 발생되는 확률 =
P (A N B ') 이벤트가 A와 B '가 모두 발생 이벤트가 발생하고 B는하지 않는 즉, 그 = 확률.

를 사용하여 곱셈의 규칙을 , 이것은 같이 표현할 수
P (A) = P (A | B) P (B) + P. (A | B '). P (B')



 베이즈의 정리

베이즈의 정리는 새로운 정보가 이벤트의 조건부 확률을 업데이 트하는 데 사용할 수있는 결과이다.

를 사용하여 곱셈 규칙 것은 , 가장 간단한 형태의 베이즈의 정리를 제공합니다 :
P (A | B) = P (A N B) / P (B) = P (B | A). P (A) / P (B)
사용 총 확률의 법 :
P (A | B) =
P (B | A). P (A)
P (B | A) P (A) + P. (B | A '). P (A')
어디 :
가 발생 P (A) = 확률 해당 이벤트
이벤트 B가 발생되는 P (B) = 확률
P 이벤트가 발생하지 않습니다 (A ') = 확률
P (A | B) = 확률 해당 이벤트 이벤트 B가 이미 발생했음을 주어진 발생
P (B | A) 이벤트 B가 해당 이벤트 주어진 발생 = 확률이 이미 발생했습니다
P (B | A ') = 확률 해당 이벤트 B는 이미 발생하지 않은 경우 주어진 발생


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